Matematica

L’opera di G.S. Klügel, “Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demostrandi recensio” del 1763, riporta vari tentativi di dimostrazione del famigerato V postulato di Euclide. L'interesse storico di quest'opera risiede anche nel fatto che riporta, tra gli altri, anche il famoso tentativo di Saccheri (1733). Tentativo spesso citato, ma mai conosciuto direttamente. Un'opera storica, conosciutissima, che ha contribuito in maniera determinante alla nascita delle geometrie non euclidee e alla conseguente straordinaria rivoluzione concettuale.

Questo libro tratta in modo elementare la combinatoria, il calcolo finito, le serie formali, le ricorrenze e le tecniche di approssimazione di somme finite. Gli autori nelle varie sezioni hanno cercato innanzitutto di sviluppare dei metodi che permettano allo studente di inquadrare ogni problema in un ambito chiaro e definito. Essi hanno cercato di colmare un vuoto nella letteratura di base, troppo spesso sbilanciata o verso un'astrazione fine a se stessa, o verso applicazioni rese talvolta poco comprensibili dall'assenza di metodo. Il testo individua nel rigore dell'esposizione e nei numerosi esempi ed esercizi la chiave per comunicare con chiarezza i contenuti. La sua utilità può andare senz'altro oltre i confini dei corsi introduttivi, offrendo un valido ausilio di consultazione sia ai docenti che agli studenti.

Il presente testo propone una raccolta di casi applicativi in cui appropriate metodologie e strumenti statistici sono utilizzati in ambito temporale (capitolo 1), spaziale (capitolo 2) e spazio-temporale (capitolo 3). In particolare, il capitolo 1 analizza l'evoluzione della distribuzione di probabilità delle vendite di un particolare prodotto, sfruttando le proprietà di cui godono tali processi stocastici, allo scopo di apportare eventuali "correttivi" ai movimenti di carico e di scarico sino a quel momento adottati. Nel capitolo 2, si stimano i consumi medi giornalieri di acqua per utenza nel Comune di riferimento, e si svolge un'indagine campionaria sulle utenze di AcQuedotto Pugliese (AQP), al fine di valutare i consumi medi di acqua per individuo, anche in relazione al numero di componenti del nucleo familiare. Il capitolo 3 "ricostruisce" l'intera distribuzione del rischio di fallimento di imprese localizzate nei 97 comuni della provincia di Lecce.

Il volume è finalizzato alla didattica nei corsi triennali delle facoltà di economia così come strutturati con la riforma universitaria italiana. La necessità di compattare la trattazione, in conseguenza della limitazione dei crediti, obbliga a trovare una soluzione di compromesso, che concili la suddetta esigenza con quella di assicurare i livelli qualitativi di un corso universitario per la formazione e la preparazione professionale dei futuri laureati, con il nuovo ordinamento.

Questo testo nasce dall'esperienza didattica dell'autore presso il Politecnico di Milano. Il primo capitolo presenta i fondamenti della teoria delle probabilità, mostrando come queste debbano essere assegnate nel caso discreto e nel caso continuo, e quali siano gli strumenti comuni che la teoria offre per il calcolo. Si mettono in evidenza le responsabilità dell'utente (assegnare probabilità che corrispondano alle frequenze dei risultati dell'esperimento di interesse), le tecniche per il calcolo (probabilità congiunte e condizionate, indipendenza statistica, funzioni di variabili casuali, ecc.) e il significato pratico dei risultati ottenuti. Il secondo capitolo discute la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale, mezzi fondamentali per fare previsioni sui risultati di esperimenti casuali. L'esito del singolo esperimento è imprevedibile, e tuttavia vi sono grandezze medie che è possibile conoscere anche prima di eseguire una serie di esperimenti, con una precisione che si può stimare in anticipo. Il terzo capitolo introduce i processi casuali, collezioni di infinite variabili casuali. Per la loro trattazione è conveniente utilizzare grandezze sintetiche come il valore medio e la funzione di autocorrelazione. Il quarto capitolo è un'introduzione ai problemi di stima dei parametri di una distribuzione, e di stima di variabili casuali non osservate sulla base di variabili casuali osservate. L'ultimo capitolo mostra, con semplici esempi, come procedere per simulare con un calcolatore esperimenti casuali allo scopo di stimare probabilità di eventi. Si fa anche un cenno a tecniche speciali per la simulazione di eventi molto rari. Perché il lettore possa verificare la comprensione dei fondamenti della teoria sono proposti numerosi esercizi, e di molti sono forniti in appendice risultati e soluzioni. L'autore raccomanda di farne uso solo dopo aver risolto gli esercizi per conto proprio. I risultati rassicurano sul lavoro svolto, oppure stimolano a riprovare. Le soluzioni proposte talvolta mostrano vie alternative a cui non si era pensato. In ogni caso, non si deve evitare la fatica personale: tutti gli esercizi, vista la soluzione, sembrano più facili di quanto siano e solo successivamente si scopre quanto poco si sia imparato.

Il testo confronta con la usuale geometria del piano (euclidea) vari tipi di geometrie che si hanno su superfici note e meno note: geometria sulla sfera, sul cilindro, sul cono e sulla pseudosfera. L'idea di fondo è di giungere alla descrizione "intrinseca" di queste geometrie analizzando che cosa significa l'andare diritto su queste superficie (cioè l'idea di geodetica). Si giunge così a vari tipi di geometrie che si discostano da quella euclidea usuale: geometrie localmente euclidee (su cilindro e cono), geometria ellittica (sulla sfera), geometria iperbolica (sulla pseudosfera). Si scopre che la chiave di volta concettuale che distingue queste diverse geometrie è la nozione di curvatura gaussiana, rispettivamente nulla su piani, cilindri, coni; (costante) positiva sulla sfera e (costante) negativa sulla pseudosfera. In relazione a queste idee matematiche si sviluppano anche vari temi interdisciplinari: si studiano ad esempio le caratteristiche delle carte geografiche che rappresentano la Terra a partire dal problema di determinare la rotta migliore tra due località (porti, aeroporti).

La seconda edizione del volume, ampliata ed integrata rispetto alla prima, presenta gli elementi della matematica di base necessari sia per l'accesso ai corsi di studio universitari delle Facoltà scientifiche, sia per una migliore comprensione degli insegnamenti universitari di carattere matematico. Il manuale si rivolge a tutti gli studenti che, per poter accedere al primo anno delle Facoltà scientifiche (in particolare, Ingegneria), devono superare determinate verifiche sulle conoscenze di carattere matematico, sia sotto forma di "test di ingresso", sia di "attività formative propedeutiche", e consente l'acquisizione di tutti gli strumenti ritenuti essenziali in ambito matematico per potere affrontare le discipline matematiche proprie dei vari ordinamenti. Per questi motivi il testo, oltre a una trattazione rigorosa e autoconsistente degli argomenti, presenta numerosi esercizi completamente risolti e quesiti del tipo "test di ingresso" con le corrispondenti risposte adeguatamente commentate.