Pitagora: Quad. dell'Unione Matematica Italiana

Questo quaderno, di natura essenzialmente didattica, si propone di presentare alcuni argomenti classici della teoria della misura, secondo una scelta dell'autore che è stata influenzata, in particolare, dal desiderio di proporre anche alcuni argomenti che, nonostante la loro rilevanza concettuale e le loro potenzialità applicative, sono oggi raramente presenti nei corso universitari italiani. Rientrano in questa categoria alcuni pregevoli risultati di F. Cafiero, la cui importanza è ancor oggi fondamentale, come testimoniano anche le numerose ricerche che hanno permesso di espandere alcuni di quei risultati, dal caso classico delle misure a valori reali, al caso di misure a valori in gruppi topologici o in altre strutture algebrico-topologiche. I risultati classici di Cafiero hanno trovato il loro spazio naturale nel capitolo VIII, dove si è cercato di renderli accessibili a un pubblico più vasto semplificandone gli enunciati, fornendone nuove dimostrazioni e adottando nuova terminologia e nuove notazioni. Per la comprensione del presente quaderno è presupposta la conoscenza di nozioni elementari di Topologia generale e di Analisi funzionale. Soltanto per la dimostrazione del teorema di Radon-Nikodym si è fatto ricorso a un risultato di Calcolo delle probabilità: la convergenza in media di una martingala filtrante limitata. L'idea di impiegare questo risultato è stata suggerita dal desiderio di offrire un esempio, sia pur modesto, di applicazione di Probabilità dell'analisi.

Questo volumetto (facente parte della Collana "Quaderni dell'Unione Matematica Italiana") non è una esposizione della termomeccanica dei corpi elastici e dei suoi risultati, ma è invece una costruzione, che poggia anche su nuove basi, della struttura generale di questa disciplina. Il volume è così strutturato: Elementi di calcolo tensoriale. Richiamo di calcolo vettoriale. I tensori del secondo ordine. Tensori ortogonali. Diadi. Proprietà delle matrici rappresentative. Autovalori e derivata di un tensore. I tensori di ordine superiore. I tensori antisimmetrici in tre dimensioni. Le funzioni isotrope. I teoremi di rappresentazione. I campi tensoriali. Termomeccanica del continuo elastico. Le equazioni cardinali discrete. La prima equazione cardinale dei continui. La seconda equazione cardinale dei continui. Cinematica del continuo. Le equazioni indefinite. L'energia cinetica del continuo. Il teorema delle forze vive. Il primo principio della termodinamica. Il secondo principio della termodinamica. Il continuo termoelastico. Geometria della deformazione. La dinamica della configurazione di riferimento. I corpi termoelastici. Le isotropie delle funzioni di risposta. Proprietà delle funzioni di risposta. Il continuo termoelastico isotropo. Le linearizzazioni nel caso isotropo. Propagazione del calore. La teoria di Fourier. Propagazione del calore nei corpi quasi indeformati.

Queste note nascono da lezioni (per il corso di laurea o per il dottorato in Matematica) del primo autore all'Università La Sapienza di Roma. Si è cercato di illustrare risultati classici e meno classici relativi a problemi di Dirichlet per equazioni ellittiche. L'obiettivo è infatti fornire una base per tali problematiche, anche a chi voglia avvicinarsi alla ricerca in questo campo. Il corso che gli autori hanno costruito è autocontenuto. I risultati di analisi reale, analisi funzionale e spazi di Sobolev che vengono usati possono essere tutti trovati nel libro Analyse fonctionnelle di Haïm Brezis. Per comodità del lettore i principali prerequisiti sono citati nelle appendici. Queste note possono essere divise in due parti. La prima è dedicata a risultati classici di esistenza e regolarità di soluzioni di problemi ellittici in forma di divergenza. Nella prima parte viene trattata inoltre la teoria spettrale degli operatori lineari e la regolarità delle soluzioni di problemi lineari. Sebbene questo corso sia orientato allo studio di equazioni, è stato dedicato un capitolo al calcolo delle variazioni, mettendo in risalto come questa teoria possa essere di aiuto allo studio di problemi differenziali. Il problema di Leray-Lions ha dato origine ad un campo di ricerca assai vasto ed attualmente attivo. Nella seconda parte di queste note ne vengono illustrate tre direzioni...

Con questo libro si vogliono raggiungere in modo ragionevolmente integrato tre obiettivi: descrivere alcuni contenuti elementari di teoria dei numeri, presentare diversi argomenti classici e avanzati sulle successioni uniformemente distribuite e sulla discrepanza delle successioni finite, introdurre alcuni risultati di analisi di Fourier motivandoli di volta in volta con specifiche applicazioni relative ai primi due punti. Ecco gli argomenti: Elementi di teoria dei numeri. Preludio. Funzioni aritmetiche e punti interi. Congruenze. Crittografia. Reciprocità quadratica e serie di Fourier. Somme di quadrati. Analisi di Fourier e distribuzione di punti. Distribuzione uniforme e completezza del sistema trigonometrico. Irregolarità di distribuzione in T e approssimazione trigonometrica. Punti interi e formula di sommazione di Poisson. Punti interi e somme esponenziali. Irregolarità di distribuzione in T e decadimento di trasformate di Fourier.

Questi gli argomento sviluppati nel volume: Concetti fondamentali. Topologia. Categorie. Azioni di gruppo. Complessi simpliciali. Complessi sinmpliciali Euclidei. Complessi simpliciali astratti. Algebra omologica. Omologia simpliciale. Omologia con coefficienti. Omologia dei poliedri. La categoria dei poliedri. Omologia dei poliedri. Alcune applicazioni. Omologia relativa. Spazi proiettivi reali. Omologia del prodotto di due poliedri. Coomologia. Coomologia con coefficienti in G. L'anello di coomologia. Il prodotto. Varietà triangolabili. Varietà topologiche. Superfici chiuse. Dualità di Poincaré. Gruppi di omotopia. Il gruppo fondamentale. Gruppo fondamentale e omologia. Gruppi di omotopia. Teoria delle ostruzioni.

In queste pagine il lettore troverà una raccolta di concetti e metodologie che ha il suo filo conduttore principalmente nel problema della stabilità di soluzioni notevoli (equilibri, cicli) e, secondariamente, nel problema della classificazione dei comportamenti qualitativi (sia dal punto di vista locale) di sistemi dinamici in tempo continuo. Tuttavia nell'ultimo capitolo si dà un po' di spazio anche ai sistemi discreti, mostrando in particolare come questi intervengono nello studio dei sistemi in tempo continuo. I materiali esposti (funzioni di Liapunov, varietà centrale, biforcazioni, sviluppi in forma normale), per quanto ben noti, non sempre hanno una natura matematica comune e raramente si trovano raccolti in maniera organica e in unico volume. Nelle note bibliografiche inserite alla fine di ogni capitolo si danno indicazioni per reperire le dimostrazioni non riportate nel testo, e per sviluppare lo studio di certi temi di cui si è scelto di non parlare per non prolungare più del lecito la trattazione. Questa la sequenza degli argomenti trattati: Il problema della stabilità nel contesto lineare. Il problema della stabilità nel contesto topologico. Il metodo delle funzioni di Liapunov. Analisi qualitativa e classificazione locale. Il metodo della varietà centrale. Biforcazioni. Sviluppi in forma normale. Sistemi dinamici discreti. Appendici.

Questo volume (Quaderno dell'Unione Matematica Italiana) riprende alcuni degli argomenti del corso di Geometria III, Geometria IV e Geometria Superiore tenuti da Giuseppe Tallini, negli anni accademici compresi tra il 1977-78 e il 1993-94, all'Università degli Studi "La Sapienza" di Roma. La vastità dell'opera scientifica di Giuseppe Tallini, uno dei padri della scuola di Geometria Combinatoria italiana, ha imposto una difficile scelta degli argomenti da proporre. Con la pubblicazione di questo volume, si vuole mantenere viva l'opera didattica e scientifica di Giuseppe Tallini, che tanto ha dato per la formazione di molti ricercatori matematici italiani, nella convinzione che la Sua opera possa essere utile ancora oggi, come lo è stata in passato.