Matematica

Questo volume raccoglie ad uso degli studenti gli argomenti trattati nel corso di Metodi Matematici tenuto nell'ambito del corso di laurea triennale in Ingegneria Informatica dell'Università di Firenze. Il testo, suddiviso in 27 capitoli (di cui 4 di richiami), contiene una discussione a livello elementare dei seguenti argomenti: operatori autoaggiunti e relative applicazioni: decomposizione polare, valori singolari, minimi quadrati; serie di potenze, funzioni olomorfe e Z-trasformata; sistemi di ricorrenze lineari e sistemi di equazioni differenziali lineari; polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Il materiale è presentato essenzialmente con tutti i dettagli ed è corredato da numerosi esercizi, molti dei quali svolti.

Questo è il primo di una serie di fascicoli monotematici di matematica della Teoria di Algebra Lineare; il primo, ad esempio, riguarda solo la definizione di Spazio Vettoriale mentre il secondo tratta dell'argomento Sottospazi Vettoriali. Perché considerare in ogni fascicolo argomenti di breve trattazione sviluppabili solo in poche ore di lezione universitarie? Essenzialmente perché lo studente può scegliere solo il fascicolo del cui argomento è interessato, ad esempio perché ha mancato la lezione, o perché la lezione non é stata sufficientemente chiara, o per ampliare la trattazione dell'argomento svolto. Alcuni corsi universitari sono divisi in sottomoduli e ogni sottomodulo tratta argomenti specifici che a volte in un libro sono svolti in pochi capitoli se non in un solo capitolo. Se si hanno a disposizione solo libri, e non fascicoli come questo, lo studente per poter avere un testo di riferimento della materia svolta è talvolta obbligato ad acquistare un libro "intero", pur essendo interessato solo ad una parte di esso, a volte anche minima. La scelta del fascicolo ovvia questi problemi.

Questo fascicolo è il terzo di una serie di fascicoli monotematici riguardanti la Teoria degli Spazi Vettoriali. Nel primo fascicolo si è introdotta la definizione di una struttura algebrica denominata Spazio Vettoriale. Nel secondo si è definito il concetto di "sottospazio vettoriale", ovvero una sottostruttura algebrica con le stesse proprietà algebriche dello spazio ambiente. In questo fascicolo introduciamo e definiamo il concetto di "base di uno spazio vettoriale", che permette di descrivere tutti i vettori di uno spazio vettoriale. Si illustrano delle basi standard per gli spazi vettoriali Kn e Mm;n(K), e si esplicitano due metodi costruttivi per ottenere una base di uno spazio vettoriale. Mostriamo come, grazie ad una base di uno spazio vettoriale V è possibile identificare lo stesso spazio vettoriale V con lo spazio vettoriale Kn, dove n rappresenta la cardinalità della base di V e K è il campo di V . Si determina una relazione tra le cardinalità delle basi di sottospazi intersezione e sottospazi somma (Teorema di Grassmann). Si definiscono i legami tra due basi di uno stesso spazio vettoriale e si illustra un metodo per costruire una base a partire da una base data. In questo fascicolo faremo riferimento alle nozioni e notazioni di [R] e [R1] e si consiglia lo svolgimento degli esercizi di [BRS].

Questo fascicolo è il secondo di una serie di fascicoli monotematici riguardanti la Teoria degli Spazi Vettoriali. Nel primo fascicolo si è introdotta la definizione di una struttura algebrica denominata Spazio Vettoriale. In questo fascicolo si definisce un sottospazio vettoriale, ovvero una sottostruttura algebrica con le stesse proprietà algebriche dello spazio ambiente. Si mostra come costruire dei sottospazi vettoriali a partire da k vettori oppure da sottospazi vettoriali dati. Si introduce il concetto di lineare indipendenza e dipendenza di insiemi di vettori, si studiano dei criteri per stabilire la lineare dipendenza e indipendenza, infine si mostra come ottenere sottospazi vettoriali più grandi considerando dei vettori linearmente indipendenti e si determina il massimo numero vettori linearmente indipendenti esistenti in un sottospazio generato da k vettori. In questo fascicolo faremo riferimento alle nozioni e notazioni di [R].

Questo libro vuole essere uno strumento agile, semplice, ma rigoroso che possa servire come valido aiuto per gli studenti del primo anno del corso di ingegneria.