Matematica

Il volume tratta i seguenti argomenti: statistica descrittiva, distribuzioni di frequenza, indici di posizione e di dispersione; regressione lineare; calcolo delle probabilità (caso continuo e caso discreto, indipendenza stocastica, teorema di Bayes, numero aleatorio e valore atteso); distribuzione di probabilità notevoli; statistica inferenziale (campionamento, stime puntuali e stime per intervallo, test di ipotesi e di significatività).

Quest'introduzione alla simmetria, rivolta agli studenti di chimica, nasce dalle lezioni di Metodi matematici per la chimica tenute dall'autore per gli studenti della laurea triennale presso il Dipartimento di chimica dell'Università di Bologna. Per la sua collocazione al primo semestre del secondo anno, il corso ha una natura più propedeutica, privilegiando il contenuto più prettamente matematico e presentando i fondamenti della chimica quantistica con attenzione agli aspetti di simmetria. Questo si riflette nel testo, che ha così un'impostazione più formale piuttosto che basata su esempi, i quali sono accennati nel capitolo finale delle Applicazioni. Dopo un primo capitolo di introduzione al concetto di Simmetria, nel secondo si introduce la teoria dei Gruppi come "linguaggio" formale per trattare della simmetria. Quindi c'è un interludio di Elementi di algebra lineare, necessario per comprendere il fondamentale quinto capitolo, che tratta delle Rappresentazioni matriciali, cioè la sostituzione della geometria delle operazioni di simmetria con l'algebra delle matrici. Il quarto capitolo presenta i Gruppi di simmetria puntuali e spaziali. Il sesto capitolo introduce i postulati della meccanica quantistica per affrontare il binomio Simmetria e quantomeccanica. Le appendici approfondiscono argomenti solo accennati nel testo, quali i Numeri complessi, la Notazione di Dirac e la Buca di potenziale finito.

Questo volume nasce come principale ausilio didattico per il corso annuale di Analisi Statistica Multivariata tenuto presso l'Università Cattolica di Milano. Il programma del corso di Analisi Statistica Multivariata ha subito negli anni diversi cambiamenti, in particolare, non comprende più l'Analisi di regressione, attualmente ricompresa nel corso di Statistica II. Anche la parte introduttiva di Calcolo matriciale è stata ridotta ad alcuni principali richiami, dato che viene svolta e utilizzata in altri insegnamenti di Matematica e di Statistica. Attualmente il programma di Analisi Statistica Multivariata si articola nei seguenti capitoli: Richiami e complementi di algebra matriciale e geometria multidimensionale; Analisi delle componenti principali; Analisi dei fattori; Analisi delle corrispondenze; Analisi discriminante; Analisi dei gruppi; Lo scaling multidimensionale (MDS); Reti neurali. Il contenuto di questo volume copre buona parte degli argomenti da 1 a 5, mentre la copertura del punto 8 è piuttosto limitata (come spiegato nel Cap. 6).

Per oltre quattro generazioni la famiglia Bernoulli ha fornito alla scienza un patrimonio straordinario di talenti che hanno significativamente influito sullo sviluppo delle conoscenze della matematica, della fisica e della astronomia. Queste pagine si soffermeranno sui capostipiti dei "geni" della famiglia, Jacob e Johann, attraverso le sfide matematiche e l'accesa rivalità sullo studio di alcune curve notevoli.

"Con la mia prima pubblicazione "Nuovo Calcolo Senza Limiti" ho presentato un nuovo metodo per evitare alla radice il problema degli infinitesimi nel calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz. Lo studio si conclude accennando alle funzioni mostruose presentate da Weierstrass che, con i problemi del continuo e le nascita delle geometrie non-euclidee, hanno provocato la nota "Crisi delle Fondamenta" di fine Ottocento. Inoltre nei successivi "Tre articoli per un mistero" e "L'insostenibile leggerezza assiomatica" propongo una dimostrazione del quinto postulato di Euclide, nonché la sua equivalenza con il teorema dell'attraversamento e l'assioma di Pasch che ne deriva. Occorreva quindi approfondirne i legami contraddittori con le geometrie non-euclidee. Da queste premesse è nata una serie di studi, che qui presento, sugli affascinanti e fondamentali temi del continuo e dell'infinito, che vanno appunto "da Zenone a Cantor". Quindi la confutazione dei paradossi di Zenone, un'analisi critica delle origini delle geometrie non-euclidee e studi su un tentativo di fondare una geometria senza punti, sul metodo diagonale di Cantor, sui paradossi di Vitali e di Banach-Tarski."

La geometria che studiamo oggi fino alle scuole superiori è quella degli "Elementi" di Euclide, così come aggiornati dal matematico del 1800 Legendre. Sono 13 libri con 467 proposizioni, ossia teoremi con le relative dimostrazioni, scritti nel periodo greco classico (IV secolo a.C.). Attualmente, le carenze dell'originale geometria euclidea vengono superate modificando la dimostrazione di alcune proposizioni sulla base di assiomatizzazioni più attuali (Hilbert, approccio metrico di Birkhoff), con speciale attenzione agli assiomi sulla continuità (Archimede, Dedekind). Inoltre, dopo Bolyai e Lobacevskij, si sono consolidate le geometrie non-euclidee, rimanendo irrisolta la problematica del quinto postulato di Euclide, dopo i tentativi del Saccheri. Questo lavoro propone una soluzione al problema del quinto postulato, problema che incide profondamente sull'impostazione e sul significato della geometria euclidea. Se le geometrie non-euclidee rimangono comunque possibili, come ad esempio nella relatività generale, qui se ne propone una profonda revisione delle origini per cui la loro esistenza non è più necessaria. E ciò vale specialmente per la geometria iperbolica.

I concetti base della numerazione. Il sistema metrico decimale e binario. Significati di incommensurabilità e non numerabilità. I numeri complessi in forma esponenziale e trigonometrica. La scelta di "e" come base dei logaritmi. I fasori. L'identità di Eulero. Tutte le dimostrazioni.

La Geometria che studiamo attualmente fino alle scuole superiori è quella degli "Elementi" di Euclide, così come aggiornati dal matematico del 1800 Legendre. Sono 13 libri con 467 proposizioni, ossia teoremi con le relative dimostrazioni, scritti nel periodo greco classico (IV secolo a.C.): l'autore presenta una panoramica della diffusione della matematica e della geometria che a partire anche da civiltà extra-europee - Egitto, India, Cina, Maya, Arabi, ed attraverso la leggendaria Via della Seta - hanno avuto il loro culmine nella splendida ellenica e poi in quella Occidentale. È presente uno studio sul Libro X di Euclide, ritenuto tra i più difficili. Quindi si giunge alla "Crisi delle Fondamenta" tra Ottocento e Novecento che per quanto riguarda la Geometria porta ad assiomatizzazioni più attuali (Hilbert, approccio metrico di Birkhoff), con speciale attenzione agli assiomi sulla continuità (Archimede, Dedekind).