Matematica

Il volume raccoglie le lezioni di "Analisi Matematica 2" tenute dall'autore presso il Corso di Laurea in Fisica (triennale) dell'Università degli Studi di Milano. Dopo una prima parte dedicata alla teoria dell'integrazione per funzioni di una variabile, su intervalli e su curve regolari, corredata da un capitolo in appendice sul calcolo delle primitive, si passa al calcolo differenziale per funzioni di più variabili, con applicazione all'ottimizzazione non vincolata. Segue una trattazione sistematica delle equazioni differenziali ordinarie, con riferimento sia alle tecniche di calcolo delle soluzioni, che ai risultati teorici relativi al problema di Cauchy. Quest'ultimo argomento, affrontato mediante l'uso del teorema delle contrazioni, richiede l'introduzione di alcuni importanti concetti riguardanti le successioni di funzioni, quali la convergenza puntuale e uniforme; allo studio per le successioni, è affiancato quello per le serie di funzioni, con particolare riferimento alle serie di potenze e alle serie di Taylor. Per ogni argomento vengono enunciati i risultati fondamentali, corredati dalle dimostrazioni più istruttive e significative, e vengono inseriti molti esempi ed esercizi svolti.

Giunto alla quinta edizione americana, questo testo è tra i più diffusi per i corsi di statistica di base che fanno capo all'area economica e aziendalistica. I motivi del suo successo vanno rintracciati in primo luogo nella chiarezza espositiva e nella semplicità del linguaggio, ulteriormente semplificati in questa edizione, nonché nell'approccio didattico. L'ampia gamma di argomenti trattati copre tutti i principali temi della statistica di base. Ogni argomento è contestualizzato, calato in diversi casi concreti, con particolare attenzione agli aspetti applicativi e all'interpretazione dei risultati. All'inizio di ogni capitolo è infatti inserito un caso di studio scelto in diversi contesti, sul quale viene poi sviluppata la trattazione. Fondamentale è l'integrazione nel testo dell'uso del software Microsoft Excel per l'analisi dei dati. All'indirizzo http://hpe.pearson.it/levine è disponibile materiale per gli studenti tra cui i dataset in Excel e la macro PHSTAT scaricabile. Sono inoltre disponibili i capitoli sulla regressione multipla e il controllo di qualità.

Gli argomenti sviluppati in questo volume sono i seguenti: Le successioni, concetti fondamentali. Le successioni reali, proprietà elementari e limiti. Criteri per l'esistenza del limite di successioni. Numeri, funzioni e successioni reali. Il calcolo nello studio delle successioni reali. Successioni reali definite per ricorrenza. Chiudono il testo numerosi esercizi svolti, esercizi proposti con relativi risultati ed una tabella dei simboli.

Il volume è incentrato sulla probabilità discreta, contesto nel quale gli strumenti principali del calcolo delle probabilità possono essere introdotti in modo assolutamente rigoroso senza le complicazioni della teoria della misura. Il trattamento di spazi dei campioni numerabili permette tuttavia di apprezzare le difficoltà analitiche che si incontrano in modelli più generali. L'enfasi è posta soprattutto sulla costruzione dei modelli probabilistici, a cominciare dalla scelta di un appropriato spazio dei campioni. La scelta degli argomenti rende il libro particolarmente appropriato per l'insegnamento della probabilità nell'ambito dei corsi di laurea in Matematica e Informatica. Per permettere una lettura più scorrevole ogni capitolo ha una sezione di approfondimenti, che possono essere omessi in prima lettura, e una sezione di esercizi proposti.

Il presente eserciziario nasce dall'esperienza comune dei due autori come esercitatori di diversi corsi di Probabilità e Statistica presso il Politecnico di Milano, l'Università L. Bocconi e l'Università dell'Insubria; esso copre infatti il programma generalmente svolto durante i corsi di laurea in Ingegneria ed Economia, presentando un'ampia varietà di esercizi propedeutici alla prova d'esame. Tutti i problemi proposti sono svolti con ampie e dettagliate soluzioni.

Il volume presenta alcuni rilevanti problemi decisionali di ottimizzazione a risorse limitate che sorgono nell'analisi di sistemi complessi, quali, per esempio, quelli di trasporto, di localizzazione, di selezione, di distribuzione di beni di servizio, di flusso su reti, ecc. Per ciascuno di tali problemi si propone un modello matematico di ottimizzazione e si illustrano le principali proprietà ed i principali metodi risolutivi. Il testo è corredato da esempi concreti con relative risoluzioni. Il volume può essere usato come supporto per un corso di base di Ricerca Operativa e presuppone conoscenze di base matematiche che si acquisiscono nel primo anno di studi scientifici universitari.

La traiettoria di un pallone è completamente determinata dal calcio del tiratore: a due condizioni iniziali identiche corrisponderanno due traiettorie identiche. È impossibile tuttavia lanciare un pallone, o un dado, esattamente nello stesso modo due volte di fila: ci sarà sempre una differenza, anche se solo di un atomo, e questa differenza, per quanto minuscola, darà luogo a una variazione macroscopica del comportamento del sistema stesso. Si tratta di sistemi caotici, ovvero sistemi che amplificano le differenze iniziali in maniera esponenziale. Ekeland ci introduce alla teoria matematica del caos attraverso due esempi: la meccanica celeste - il sistema solare, stabile su una scala temporale limitata, su una scala di cento milioni di anni è caotico - e la meteorologia, il caso forse più noto di discrepanza tra cause impercettibili all'occhio dell'osservatore ed effetti di ampie proporzioni il celeberrimo effetto farfalla di Edward Lorenz. L'ultima parte del libro propone una riflessione di carattere più generale sul ruolo dei calcoli complessi e quindi sull'uso degli strumenti informatici nelle scienze esatte.

Con questo libro si vogliono raggiungere in modo ragionevolmente integrato tre obiettivi: descrivere alcuni contenuti elementari di teoria dei numeri, presentare diversi argomenti classici e avanzati sulle successioni uniformemente distribuite e sulla discrepanza delle successioni finite, introdurre alcuni risultati di analisi di Fourier motivandoli di volta in volta con specifiche applicazioni relative ai primi due punti. Ecco gli argomenti: Elementi di teoria dei numeri. Preludio. Funzioni aritmetiche e punti interi. Congruenze. Crittografia. Reciprocità quadratica e serie di Fourier. Somme di quadrati. Analisi di Fourier e distribuzione di punti. Distribuzione uniforme e completezza del sistema trigonometrico. Irregolarità di distribuzione in T e approssimazione trigonometrica. Punti interi e formula di sommazione di Poisson. Punti interi e somme esponenziali. Irregolarità di distribuzione in T e decadimento di trasformate di Fourier.