Matematica

Il testo nasce da una raccolta di dispense preparate per le Esercitazioni di Geometria III che ho tenuto agli studenti del corso di Laurea in Matematica presso l'Università di Trento nell'anno accademico 2009-10. Esso contiene esercizi e complementi riguardanti la parte di Analisi Complessa di tale corso. I primi undici capitoli trattano i classici argomenti di un primo corso di Analisi Complessa: numeri complessi, funzioni elementari di una variabile complessa, derivazione in senso complesso, serie di potenze, singolarità, integrazione, calcolo dei residui e relative applicazioni, proprietà delle funzioni analitiche, applicazioni conformi, prolungamento analitico. Il dodicesimo capitolo contiene alcune spiegazioni "visive" di alcuni concetti di analisi complessa, compresa una giustificazione del Teorema integrale di Cauchy. Nel tredicesimo capitolo sono stati inseriti sia alcuni richiami di Analisi Reale, sia alcuni complementi di Analisi Complessa come, ad esempio, alcune nozioni sulle funzioni intere, una parte introduttiva riguardante i prodotti infiniti e il Teorema di Fattorizzazione di Weierstrass.

Lo scopo di queste lezioni è di presentare agli allievi del corso di Laurea in Ingegneria Elettronica del Politecnico di Milano i fondamenti della teoria della probabilità e dei processi aleatori, utili per tutte le discipline scientifiche. Il lettore dovrebbe già conoscere l'analisi matematica (integrali e derivate) e la teoria dei segnali. Queste lezioni scritte non hanno la pretesa di costituire un testo didattico completo o enciclopedico, ma di riportare una sintesi degli argomenti presentati in aula, integrata con molti esercizi ed esempi. Mancano, quindi, quasi tutti i commenti, le precisazioni, le correzioni di rotta e le divagazioni che rendono una lezione più viva e interessante del testo corrispondente e l'esame più proficuo rispetto a chi non segue le lezioni. Molti altri sviluppi e argomenti che potrebbero interessare il lettore sono riassunti in moltissimi libri (o in rete), tra i quali però raccomando il testo di Athanasios Papoulis, "Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici", Bollati-Boringhieri, 1973, un libro amato da moltissimi ingegneri e fisici in tutto il mondo.

Questo volume presenta testi e svolgimenti di esercizi relativi al calcolo infinitesimale in una e più variabili con lo scopo di fornire abilità di calcolo e dare una visione unitaria dei molteplici aspetti e potenzialità applicative dell'Analisi Matematica. Si è cercato di enfatizzare il più possibile le applicazioni del calcolo differenziale allo studio del grafico, alla soluzione di equazioni, alla classificazione dei punti critici liberi o vincolati, al comportamento qualitativo delle soluzioni di equazioni differenziali e all'approssimazione di funzioni. Per quel che riguarda il calcolo integrale, si è fatto particolare riferimento alla misura di sottografici, aree e volumi, al calcolo di lavoro e flusso di un campo vettoriale, di serie numeriche e di funzioni, alla risoluzione di equazioni differenziali.

L'opera fornisce una introduzione alla geometria delle varietà differenziabili, illustrandone le principali proprietà e descrivendo le tecniche e gli strumenti usati per il loro studio.

Le equazioni differenziali sono un argomento fondamentale non solo della matematica, ma anche della fisica, dell'ingegneria e, in generale, di tutte le scienze. Questo volume intende fornire allo studente una panoramica di alcune tra le più interessanti e suggestive questioni relative alle equazioni differenziali ordinarie trattate da un punto di vista geometrico, aprendo uno sguardo verso l'analisi funzionale. Oltre ai risultati classici sulle equazioni lineari, molto spazio è dato ai problemi non lineari che spesso non sono oggetto dei corsi istituzionali. L'esposizione è tenuta a un livello semplice in modo che il libro possa essere accessibile a studenti dell'ultimo anno della laurea triennale e della laurea magistrale, offrendo anche spunti per ulteriori approfondimenti.

Questo testo raccoglie esercizi adatti a corsi di Analisi Matematica 1 per la Laurea in Ingegneria o affini. Si tratta perlopiù di esercizi tratti da temi d'esame assegnati negli ultimi dieci anni al Politecnico di Milano. Caratteristiche del libro: Oltre 1200 esercizi di Analisi Matematica 1, suddivisi per argomento, con svolgimento completo oppure con le soluzioni. Più di 120 esempi guida, svolti e commentati dettagliatamente, per introdurre gli argomenti più importanti. Numerose osservazioni didattiche e puntualizzazioni per illustrare i punti più delicati e prevenire gli errori più comuni. Questo volume quindi non è solo una raccolta di esercizi, ma un percorso di esercitazioni, mirato ad aiutare specialmente lo studente che, per qualunque motivo, non ha seguito bene lezioni o esercitazioni e deve perciò affrontare l'esame da autodidatta. Naturalmente, lo studio del libro di testo rimane un presupposto.

Il volume presenta le nozioni fondamentali del Calcolo delle probabilità e della statistica, così come di solito vengono insegnate nei corsi presenti nelle Lauree Triennali di indirizzo scientifico. La scelta degli argomenti e la loro presentazione rispecchiano la notevole esperienza didattica acquisita dall'autrice, che da molti anni è docente in questo tipo di corsi, e di conseguenza il suo modo di porgere la materia. Il principale obiettivo del testo è quello di aiutare il lettore a padroneggiare la disciplina limitando per quanto possibile gli strumenti tecnici; ciò dovrebbe consentire a uno studente, anche di non elevata preparazione matematica, di apprendere comunque senza troppa difficoltà i concetti di base. L'autrice si è soffermata in modo particolare sulle motivazioni che portano a introdurre le varie nozioni e su alcuni punti che in genere gli studenti trovano di difficile comprensione.

La seconda edizione del volume mantiene la caratteristica che ha portato al successo il titolo: si tratta di un valido supporto allo studio di un corso di Matematica del primo anno di università. Gli argomenti esposti sono i tipici argomenti di matematica con cui gli studenti si possono trovare in difficoltà: le disequazioni, i logaritmi, la trigonometria, le funzioni e i loro grafici. Ma non solo questi: sono esposti in modo sintetico tutti gli argomenti che gli studenti dovrebbero conoscere per cominciare bene un corso universitario. La nuova edizione è stata arricchita con alcuni argomenti complementari e con l'aggiunta di varie decine di esercizi ai già numerosi che concludono i singoli capitoli. II volume si apre con un test d'ingresso e si conclude con un test finale: in questo modo lo studente è in grado di verificare il proprio livello di conoscenze sui diversi argomenti.

L'ordine degli argomenti trattati segue un percorso logico-storico inverso rispetto a quello scolastico tradizionale. L'Analisi Matematica appare come strumento pratico per tutte le discipline scientifiche grazie a numerosi esempi, tuttavia non sono trascurate le sue implicazioni filosofiche ed epistemologiche.