Matematica

Il 29 maggio 1832, poche ore prima di essere ferito a morte in un duello, Evariste Galois, focoso spirito rivoluzionario e grandissimo matematico francese, vergò alcune lettere che avrebbero rappresentato il suo testamento umano e scientifico. Non ancora ventunenne, aveva fondato una nuova branca dell'algebra, la teoria dei gruppi, la chiave per violare i segreti della simmetria, e dimostrato che non esistono formule per risolvere un'equazione di quinto grado o di grado superiore: l'equazione impossibile, appunto. Tre anni prima di lui si era spento, consumato dalla tubercolosi, il ventiseienne matematico norvegese Niels Hendrik Abel, che era giunto indipendentemente alle stesse conclusioni di Galois. Mario Livio, in un thriller scientifico mozzafiato, una sorta di Codice da Vinci della scienza, ci conduce attraverso la storia dell'algebra negli sconfinati territori della simmetria, parlandoci di arte, di psicologia e di fisica contemporanea.

Questo volume raccoglie gli argomenti usualmente trattati nel secondo corso di Analisi Matematica ed è diviso in 25 capitoli; sono inclusi 3 capitoli di richiami su argomenti che lo studente dovrebbe già conoscere. Dopo un approccio ai limiti di successioni e alle serie, si introduce la nozione di spazio metrico e in questo ambito si discute la struttura topologica, con particolare riferimento agli spazi Rn. Nella seconda parte, dopo un capitolo dedicato alla nozione di lunghezza di una curva, si introducono le nozioni e i teoremi fondamentali del calcolo differenziale e si introducono le nozioni di sottovarietà e di superficie immersa. Quindi si discute il teorema delle funzioni implicite e ad alcune classiche applicazioni del calcolo: il metodo del gradiente e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. La terza parte è dedicata al calcolo integrale moderno. Dopo una breve carrellata sulla teoria di Lebesgue, sono sviluppati i teoremi di passaggio al limite e numerosi esempi. Si introduce quindi la misura di Hausdorff e si enunciano le formule di area e coarea. L'ultima parte è dedicata al calcolo vettoriale. Si discutono i campi conservativi e irrotazionali, le formule di Gauss-Green e il teorema di Stokes nel piano e nello spazio. Il volume intende portare l'attenzione del lettore sulla comprensione delle idee e dei concetti e sullo studio delle sue prime applicazioni elementari.

"Il filo conduttore di tutti questi saggi è dato dalla nozione di complessità, definita in modo assai specifico come la misura dell'informazione contenuta in una proposizione matematica. Chaitin mostra che la stessa matematica ha infinita complessità, ciò che tra le altre cose comporta la sua inesauribilità; presa come oggetto finito, la mente umana è incapace già solo di creare quel Sacro Graal caro ai fisici, una "teoria del tutto" contenente tutte le possibili verità matematiche. Il dato che emerge con la stessa inesauribilità della matematica è la più forte conferma possibile del fatto che la pratica della matematica è più come una scienza fisica, che un semplice esercizio di logica. Le idee che troverete qui, rappresentano il nucleo stesso della filosofia della matematica e meritano la più ampia audience possibile. La ricerca di Greg Chaitin sarà ricordata affianco a quelle di Godel, di Turing, di von Neumann e di altre semidivinità presenti nel Pantheon della matematica, le cui idee hanno cambiato la nostra prospettiva su ciò che è e ciò che non è. I saggi presentati in questo volume rappresentano una essenza distillata di questa ricerca." (John Casti).

Il volume affronta temi riguardanti la teoria delle categorie, logica, matematica, algebra, strutture matematiche.

La scelta di dedicarsi agli studi matematici coincide per lei con il deporre ogni indulgenza verso l'accademismo ozioso: il frutto di anni di intensa appropriazione dell'analisi furono i due tomi delle Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. In Milano, nella Regia-Ducal Corte, 1748, un manuale che si proponeva lo scopo di divulgare, con chiarezza e semplicità, la nuova analisi infinitesimale. Al clamore, anche a quello onorevole del successo intellettuale, Maria Gaetana preferì il silenzio operoso della carità: con una scelta, che pare repentina e immotivata solo a chi resta inerte innanzi alla profondità della sua vita morale, impiegò la seconda, e più lunga, metà della sua esistenza aprendo la sua casa alle donne povere ed inferme, profondendo i suoi beni in lungimiranti opere di carità, quali la fondazione, nel 1771, del Pio Albergo Trivulzio, giungendo - per ottenere i mezzi finanziari necessari - ad umiliarsi e a farsi anch'essa mendica. Il saggio di Franco Minonzio, con una analisi impietosamente non agiografica, ha inteso ripercorrere la breve 'esistenza scientifica' dell'Agnesi,e per farlo ha sgomberato il terreno da equivoci ed errori frutto di informazioni inaccurate e replicanti: ne è sortito un punto di osservazione dal quale anche la più duratura vita religiosa di Maria Gaetana potrebbe trarre più di una importante chiarificazione.

Che cos'è la matematica? A cosa serve? Come s'impara? Come va insegnata? È un'attività solitaria o di gruppo? Come ragiona una mente matematica? Quali sono le frontiere della ricerca? Per rispondere a queste domande lan Stewart concepisce delle lettere indirizzate a Meg, giovane matematica di cui segue il percorso di studio dalle scuole superiori fino all'affidamento di un incarico universitario. Il contenuto di queste lettere spazia dalle decisioni riguardanti la carriera fino all'attività dei matematici professionisti e alla natura della loro disciplina. "Il mio lettore di riferimento", dichiara Stewart, "è soprattutto il giovane matematico, o i suoi genitori, parenti e amici, ma il libro dovrebbe interessare tutti coloro che, indipendentemente dalla loro ambizione, desiderano sapere cosa significa diventare - ed essere un matematico".

Il volume riprende in forma più ampia e approfondita il manuale "Il calcolo differenziale e integrale. Prima parte", dello stesso autore, edito nel 2001. Nuovi capitoli sono stati aggiunti, il numero delle pagine è passato da meno di 200 a più di 300, sono state inserite le dimostrazioni della maggior parte dei teoremi, le parti sono sviluppate in maniera più ampia e approfondita. Lo scopo è quello di fornire agli studenti uno strumento di lavoro che non sia limitato all'acquisizione delle mere tecniche di calcolo, ma che offre anche garanzie per un apprendimento consapevole e consolidato su buone basi teoriche. Il libro è indicato per gli insegnamenti di Analisi Matematica I nei corsi di laurea delle Facoltà di Ingegneria.

Con l'introduzione delle lauree triennali l'insegnamento dell'analisi classica viene generalmente suddiviso in tre parti. Questo volume contiene gli argomenti che solitamente vengono presentati nel terzo corso: successioni e serie di funzioni, serie di potenze, Teorema del Dini ed ottimizzazione vincolata, teoria dell'integrazione multidimensionale secondo Lebesgue e teoremi di passaggio al limite, teoremi della divergenza e del rotore, forme differenziali e teoria del potenziale scalare. Là dove possibile si è cercato di mantenere un approccio geometrico: si è così deciso di introdurre una nozione di varietà regolare che, sebbene non sia certamente la più generale possibile, si rivela sufficientemente duttile da consentire sia la dimostrazione per via geometrica del teorema dei moltiplicatori di Lagrange, sia l'introduzione del calcolo integrale su varietà. Ogni risultato fondamentale è illustrato da numerosi esempi.